Séminaire MODAL'X : Titus Lupu (LPSM)

Résumé : Je vais présenter un modèle de percolation où l'on jette des lacets browniens dans R^3 selon un processus de Poisson et on regarde les amas (clusters) formés par intersection de lacets. L'équivalent en dimension 2 a déjà  été intensément étudié depuis les travaux de Sheffield-Werner. Comme le mouvement brownien en dimension 3 est encore non-polaire, les amas obtenus sont encore non-triviaux. La mesure d'intensité choisie pour le Poisson est invariante par changement d'échelle, et donc la collection des amas obtenus l'est aussi. Le modèle présente une transition de phase par rapport au paramètre scalaire d'intensité: pour les petites intensités aucun amas n'est connecté à l'infini, et pour les intensités suffisamment grandes il y a connexion à l'infini. Du fait de l'invariance d'échelle, la phénoménologie du modèle est différente de la percolation de Bernoulli sur réseau. Par exemple, en phase sous-critique, les probabilités de croisement à un bras décroissent en puissance. Il existe une phase suffisamment surcritique dans laquelle tous les lacets sont connectés en un seul amas tout court. Il reste également de nombreuses questions ouvertes pour ce modèle: par exemple montrer que la phase de connexion à l'infini et la phase d'unicité coïncident. Ceci est un travail en commun avec Antoine Jego (CEREMADE).