Séminaire MODAL'X : Shen Lin (LPSM, Sorbonne Université)

Résumé : On considère une marche aléatoire branchante à valeurs dans un arbre régulier enraciné. Cette marche aléatoire est indexée par un arbre planaire uniforme à n sommets, dont le déplacement spatial suit la loi d'une marche aux plus proches voisins sur l'arbre régulier, biaisée vers la racine et nulle récurrente. Soit $R_n$ l'ensemble des sommets dans l'arbre régulier visités par la marche aléatoire branchante. On démontre d'abord une loi des grands nombres pour la taille de $R_n$. Ensuite, si l'on regarde $R_n$ comme un sous-arbre aléatoire de l'arbre régulier muni de la distance de graphe $d_{gr}$, alors lorsque n tend vers l'infini, l'espace métrique normalisé $(R_n, n^{-1/4}d_{gr})$, muni de sa mesure empirique normalisée, converge, au sens de Gromov-Hausdorff-Prokhorov, vers le cactus brownien réfléchi, un variant du cactus brownien introduit par N. Curien, J.-F. Le Gall et G. Miermont en 2013 dans l'étude des cartes planaires aléatoires. 
Travail en commun avec T. Duquesne (Sorbonne Université), R. Khanfir (Sorbonne Université), et N. Torri (Université Paris Nanterre).