Séminaire MODAL'X : Raphaël Lachieze-Rey (MAP5, Université de Paris)

On étudie les excursions et ensembles de niveaux de certains champs gaussiens stationnaires au niveau 0, également qualifiés de "nodaux". En dimension 1, les zéros d'un champ gaussien réél centré sont en général dénombrables et leur propriétés statistiques sont étudiées depuis les années 50. On montre que ce type de processus a une variance toujours au moins linéaire, et on donne une condition nécessaire et "presque suffisante" sur la fonction de covariance pour la linéarité stricte. Cela exclut l'existence de processus hyper-uniformes, malgré la mise en évidence de zéros maximalement rigides dans cette classe.
On étudie également la variance du volume nodal de certains champs de spectre fini, et on montre qu'aussi bien en dimension 1 que supérieure l'ordre de grandeur dépend des propriétés diophantiennes des atomes du spectre. On peut ainsi obtenir tous les ordres de grandeur pour la variance du volume nodal sur une sphère de rayon R, de R^{d-1} (surfacique) à R^{2d} (quadratique). Ces résultats passent par l'étude de marches aléatoires diophantienne sur le tore. Pour des excursions non-nodales, on peut montrer que, en écho avec d'autres phénomènes similaires (harmoniques gaussiennes de haute énergie), la variance est toujours quadratique, ce qui justifie que les excursions nodales jouissent d'un statut particulier.