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Séminaire MODAL'X : Olivier Couronné (Modal'X, Université Paris Nanterre)
Publié le 19 septembre 2022
–
Mis à jour le 8 novembre 2022
Percolation emmêlée et sphères
Date(s)
le 12 janvier 2023
13h30-14h30
Lieu(x)
Résumé :
Dans le réseau Z^3, en plus des chemins infinis de la percolation classique, nous pouvons étudier les suites infinies d'anneaux emmêlés les uns dans les autres, comme un collier infini.
Des simulations indiquent que ce nouveau point critique, p_e, est aux environs de 0.2488. Une succession de travaux ont obtenu des minorants pour p_e, commençant à 1/15616, la dernière minoration étant de 0,04453 obtenue par Grimmett et Holroyd. En se basant sur ce dernier travail, il est possible d'améliorer la minoration à 0,06576 en affinant les sphères considérées, puis en utilisant des grandes déviations sur une chaîne de Markov.
Si le temps le permet ... On considère le nombre de chemins auto-évitants dans Z^2. Par une inégalité sous-additive, on sait que le log de ce nombre divisé par n converge vers une constante, que l'on note \mu et appelée la constante de connectivité. Elle est estimée valoir 2.638158, et la dernière majoration en date est de 2.67919 (Pönitz, Tittman, 2000). La technique utilisée est de considérer des chemins auto-évitants à mémoire finie, et de regarder la plus grande valeur propre de la chaîne de Markov associée. On verra quelques modifications sur cette chaîne de Markov permettant d'améliorer la majoration obtenue.
Dans le réseau Z^3, en plus des chemins infinis de la percolation classique, nous pouvons étudier les suites infinies d'anneaux emmêlés les uns dans les autres, comme un collier infini.
Des simulations indiquent que ce nouveau point critique, p_e, est aux environs de 0.2488. Une succession de travaux ont obtenu des minorants pour p_e, commençant à 1/15616, la dernière minoration étant de 0,04453 obtenue par Grimmett et Holroyd. En se basant sur ce dernier travail, il est possible d'améliorer la minoration à 0,06576 en affinant les sphères considérées, puis en utilisant des grandes déviations sur une chaîne de Markov.
Si le temps le permet ... On considère le nombre de chemins auto-évitants dans Z^2. Par une inégalité sous-additive, on sait que le log de ce nombre divisé par n converge vers une constante, que l'on note \mu et appelée la constante de connectivité. Elle est estimée valoir 2.638158, et la dernière majoration en date est de 2.67919 (Pönitz, Tittman, 2000). La technique utilisée est de considérer des chemins auto-évitants à mémoire finie, et de regarder la plus grande valeur propre de la chaîne de Markov associée. On verra quelques modifications sur cette chaîne de Markov permettant d'améliorer la majoration obtenue.
Mis à jour le 08 novembre 2022