Séminaire MODAL'X : Nicolas Bouchot (LPSM, Sorbonne Université)

Résumé : On considère la marche aléatoire simple sur Z^d que l'on contraint à rester dans un grand domaine de taille typique N. On s'intéresse à la géométrie de la trace en temps long de cette marche confinée. Dans le cas de la marche aléatoire sur le tore de taille N, il est connu que la trace de la marche en temps u N^d peut être localement couplée avec l'entrelac aléatoire de niveau u, qui est formellement une soupe poissonienne de trajectoires de marche simple sur Z^d. Dans cet exposé, je présenterai comment obtenir un couplage similaire dans le cas de la marche confinée, avec un entrelac "tilté" de marches sur conductances traduisant les inhomogénéités du domaine. La méthode de couplage est celle des "soft local times" qui permet de simuler des chaînes de Markov en utilisant des variables i.i.d. Cette méthode permet d'effectuer le couplage sur des sous-domaines macroscopiques, et ce même si le temps d'exploration est relativement petit. Je finirai l'exposé en présentant deux applications possibles de ce résultat sur la capacité et le temps de recouvrement de la marche confinée.