Séminaire MODAL'X : Mathieu Sart (ICJ, Université Jean Monnet Saint-Etienne)

Résumé :
Le but de cet exposé est de revisiter le problème de l’estimation de la densité sous contrainte de régularité. Nous souhaitons estimer la densité de manière optimale, sans perdre de facteurs logarithmiques, et sans faire d’hypothèse forte. Celle-ci peut, par exemple, ne pas être continue, ni bornée, ni dans L^2(R), ni à support compact. Sa régularité peut aussi « varier spatialement ».
Nous choisissons une approche basée sur des ondelettes et comparons les estimateurs avec un risque global L1. Nous présentons une heuristique pour sélectionner les coefficients les plus pertinents et expliquons le rôle crucial d’un terme d’erreur qu'il faut contrôler.  Un contrôle naturel, bien qu’un peu brutal, conduit à certaines procédures plus anciennes de la littérature. Parmi celles-ci, on retrouve des procédures de seuillage qui sont connues pour perdre des facteurs logs dans les vitesses de convergence. Un contrôle plus fin permet d’éviter ces facteurs logs indésirables.
La procédure qui en résulte est cependant un peu différente d’une procédure de seuillage classique. Elle reste néanmoins implémentable en un temps approximativement linéaire en le nombre d’observations. Elle est par ailleurs entièrement data-driven et adaptative. Elle permet aussi d’établir de nouveaux résultats minimax.