Séminaire MODAL'X : Barbara Dembin (Université de Paris)

Résumé : Considérons une percolation i.i.d. surcritique sur Z^d, chaque arête est ouverte avec probabilité p>p_c, où p_c représente le paramètre critique. Conditionnons par l'événement "0 appartient au cluster infini" et considérons les graphes connectés contenant 0 et au plus n^d sommets. Parmi ces graphes, nous nous intéressons à ceux qui minimisent le ratio isopérimétrique (surface sur volume) et nous notons ce ratio ϕ_n(p). La quantité nϕ_n(p) converge lorsque n tend vers l'infini vers une constante déterministe strictement positive, il s'agit de la constante isopérimétrique ancrée. En étendant la définition de ϕ_n(p) pour p=p_c, nous prouvons que, si la limite quand n tend vers l'infini de nϕ_n(p_c) existe, alors celle-ci vaut 0.
Travail réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf.