Version française Cours doctoraux
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Cours d'école doctorale : Niccolo Torri (Modal'X), 2ème partie
Publié le 6 janvier 2022
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Mis à jour le 4 avril 2022
Modèles de polymères aléatoires
Résumé :
Un des problèmes classiques de la mécanique statistique est celui de comprendre le comportement d'un polymère en interaction avec un environnement contenant des impuretés. D'un point de vue mathématique le polymère est décrit par une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ de longueur $N$ placée dans un environnement aléatoire indépendant du temps (les impuretés). À chaque trajectoire de la marche on donne un poids exponentiel qui dépend d'une réalisation de l'environnement : on perturbe donc la mesure de probabilité de la marche en obtenant une nouvelle aléatoire. L'enjeu principal est d’étudier et de comprendre si et comment la présence de l'environnement perturbe la structure des trajectoires typiques de la marche aléatoire quand $N$, la taille du système, est assez grand. Dans ce cours on présentera les résultats classiques en utilisant deux exemples phare dans la littérature : le modèle d'accrochage de polymère (modèle de pinning) et le modèle de polymère dirigé.
Le cours est organisé en deux séances d'1h30.
Bibliographie :
- Disorder and Critical Phenomena through Basic Probability Models, G. Giacomin (École d'été de Saint-Flour)
- Directed Polymers in Random Environments, F. Comets (École d'été de Saint-Flour)
Un des problèmes classiques de la mécanique statistique est celui de comprendre le comportement d'un polymère en interaction avec un environnement contenant des impuretés. D'un point de vue mathématique le polymère est décrit par une marche aléatoire sur $\mathbb{Z}^d$ de longueur $N$ placée dans un environnement aléatoire indépendant du temps (les impuretés). À chaque trajectoire de la marche on donne un poids exponentiel qui dépend d'une réalisation de l'environnement : on perturbe donc la mesure de probabilité de la marche en obtenant une nouvelle aléatoire. L'enjeu principal est d’étudier et de comprendre si et comment la présence de l'environnement perturbe la structure des trajectoires typiques de la marche aléatoire quand $N$, la taille du système, est assez grand. Dans ce cours on présentera les résultats classiques en utilisant deux exemples phare dans la littérature : le modèle d'accrochage de polymère (modèle de pinning) et le modèle de polymère dirigé.
Le cours est organisé en deux séances d'1h30.
Bibliographie :
- Disorder and Critical Phenomena through Basic Probability Models, G. Giacomin (École d'été de Saint-Flour)
- Directed Polymers in Random Environments, F. Comets (École d'été de Saint-Flour)
Mis à jour le 04 avril 2022