Cours doctoral MODAL'X : Lisandro Fermin (AMSE)

Résumé : Ce cours propose une lecture structurelle des dynamiques fractionnaires à partir de mélanges de dynamiques markoviennes élémentaires. L’idée centrale est que des mécanismes localement simples, de courte mémoire, peuvent produire des dynamiques effectives persistantes lorsque les échelles de dissipation sont mélangées.
Nous présenterons d’abord le lien entre mélanges de processus d’Ornstein--Uhlenbeck, relaxations de type Mittag--Leffler et dynamiques de Volterra fractionnaires convolutionnelles. En temps discret, cette structure conduit à des représentations VAR (modèle autorégressif vectoriel) de grande dimension, où la persistance et la mémoire longue sont reliées à la concentration de la loi spectrale près du bord du domaine de stationnarité. La seconde partie portera sur les processus ponctuels. Nous montrerons comment les processus de Poisson fractionnaires peuvent être interprétés comme des mélanges séquentiels de processus de Poisson classiques à taux aléatoires. Cette lecture conduit naturellement à des extensions bifractionnaires, permettant de distinguer les mécanismes de choc et de retour à l’équilibre.
Nous conclurons par quelques problèmes d’inférence associés à ces modèles, notamment autour de la régularisation, des critères spectraux et de méthodes issues du machine learning.